Prépas scientifiques PCSI PC Bertran de Born

Pouvez-vous trouver deux matrices A et B qui satisfont les égalités ci-contre ? Si oui, donnez-en, sinon expliquez pourquoi. C'est le dernier défi de l'année ! Tentez votre chance !

Récapitulatif des points au 15/06/2016 :

• Adrien, 2 points ;
• Alex, 2,5 points ;
• Clément, 1 point ;
• Foulques, 5 points ;
• Jean-Baptiste, 2 points.
• Louis, 1 point.

Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'on peut trouver une application linéaire et bijective (un isomorphisme) de l'un vers l'autre. On peut considérer que deux espaces isomorphes sont identiques du point de vue de la structure d'espace vectoriel.

La question du défi 7 est la suivante : en algèbre linéaire, le tout et la partie peuvent-ils être égaux ? Autrement-dit, peut-on trouver un espace vectoriel qui est isomorphe à l'un de ses sous-espaces (excepté lui-même, évidemment) ? Si oui donnez un exemple. Sinon, justifiez que que c'est impossible.

Bonne chance à tous ! Postez votre réponse en commentaire à ce message.

Ce défi porte sur les matrices carrées de taille 2-2 à coefficients réels. On trouve facilement une telle matrice qui, mise au carré, donne l'identité, sans être elle-même l'identité. Mais est-ce la même chose pour la puissance troisième ?

Défi 5 : peut-on trouver une matrice réelle M, distincte de l'identité, telle que M^3=I ? Si oui, donnez-en une ; sinon, expliquez pourquoi.

Récapitulatif des points au 01/02/2016 :

• Adrien, 2 points ;
• Alex, 2 points ;
• Clément, 1 point ;
• Foulques, 3 points ;
• Jean-Baptiste, 1 point.

Voici le 3ème défi de l'année. Pour décorer votre sapin, vous n'utilisez que des étoiles et vous procédez ainsi : vous débutez par une étoile en haut ; ensuite, sous chaque étoile, vous placez une étoile à gauche ou à droite, ou les deux, ou rien du tout... Jusqu'à n'avoir plus aucune étoile sous la main.

Défi : avec 2016 étoiles, quelle est la plus petite hauteur possible pour votre sapin ? Par hauteur, il faut comprendre le nombre d'étages intermédiaires ; par exemple, le sapin dans l'image ci-contre a une hauteur de 2. S'il n'y avait eu qu'une étoile, on aurait attribué une hauteur nulle.

Tentez votre chance en postant une réponse en commentaire !

Voici le premier défi mathématique de la saison. Il nous est proposé par Adrien, vainqueur de la saison 1.

''Homer travaille dans une centrale nucléaire, il est chargé de la sécurité. Pour cela il a à sa disposition 100000 boutons (numérotés de 1 à 100000). Tous les boutons ont deux positions, une enfoncée (actif) et une ressortie (non actif). Homer s'ennuyant dans la centrale décide de jouer avec sa console.Voici les règles : il passe son doigt sur les boutons (de manière croissante), si il en rencontre un actif il le désactive et vice versa. Il décide de passer son doigt sur la console 100000 fois (il s'ennuie beaucoup!). Initialement tous les boutons sont inactifs.

• Au premier passage il active tous les boutons ;
• Au deuxième, il s'arrête sur un bouton sur deux (en commençant par le deuxième : 2-4-6...) ;
• Au troisième, il s'arrête sur un bouton sur trois (en commençant par le troisième : 3-6-9...) ;
• et ainsi de suite jusqu'à faire ses 100000 passages...''

Défi : combien de boutons seront actifs à la fin de ses 100000 passages ? Le bouton 60025, si il est activé à la fin de son jeu va provoquer la fusion du réacteur, Homer va-t-il provoquer la destruction du monde ?

Proposer vos réponses en commentaires à ce message. Les réponses des PC seront prises en compte mais ne seront publiées qu'un peu plus tard pour laisser une chance aux PCSI.

D'après Eugène Charles Catalan, Traité élémentaire des séries, 1860.

Le défi : la valeur attendue à la place du ? Tentez votre chance, c'est bientôt la fin !

Voici le défi 5 : trouver une matrice X qui vérifie l'équation ci-contre. S'il n'y en a pas, expliquez pourquoi.

Bonne chance à tous.

Vous connaissez probablement le développement limité en x=0 à l'ordre 5 de la fonction tangente :

tan(x) = x +x^3/3 + 2x^5/15 + o(x^5)

Avant les 10000 mètres du canal, voici en guise d'échauffement le défi 3 :

Défi 3 : trouver le développement limité en x=0 à l'ordre 5 de la fonction tan composée 10000 fois avec elle-même. Tentez votre chance : postez une réponse en commentaire à ce message ; aucune justification n'est demandée.

Défis mathématiques-informatique saison 2

C'est le retour des défis : sup ou spé, tout le monde peut jouer.

Trouver la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à un nombre x donné, ce n'est pas dur lorsque le nombre est petit.

Par exemple si x=25 nous avons : 2^4 = 16 et 2^5=32 ; l'exposant cherché c'est 4.

C'est toujours possible avec des nombres un peu plus grands.

Voici le défi 1 : le faire avec x = 1000000!

Tentez votre chance : postez vos réponses en commentaires à ce message. De nombreux lots à gagner !

Note historique sur le symbole ! : dans cet extrait vous pouvez semble-t-il voir la première utilisation du point d'exclamation pour désigner la factorielle.

Dernier défi intégral de la saison : trouver l'aire de la surface ci-dessous. La courbe qui la délimite est constituée des points dont les coordonnées sont données dans l'illustration :

Vous pouvez simplement poster votre résultat : tentez votre chance !

Un rappel du classement à ce jour :

1. Adrien : 3 points
2. Guillaume : 2 points
3. Thomas : 2 points
4. Foulques : 1 point