La figure ci-contre représente un objet composé d'un nombre infini de triangles équilatéraux ; les points de base qui ont permis la construction de ces triangles suivent la progression harmonique 1, 1/2, 1/3, 1/4 etc.
Voici le défi 8 : quelle est l'aire de cet objet ?
Tentez votre chance : postez (même sans justification) une valeur exacte ou une valeur approchée. Celui qui s'approche le plus gagne le point !
Récapitulatif des points au 20/05/2016 :
- Adrien, 2 points ;
- Alex, 2,5 points ;
- Clément, 1 point ;
- Foulques, 5 points ;
- Jean-Baptiste, 1 point.
- Louis, 1 point.
3 réactions
1 De Levrai Alex - 21/05/2016, 12:36
On pose An l'aire du n-ième triangle, en partant de la droite sur le dessin.
On a A1=√3/4 (1-1/2)²
A2= √3/4 (1/2-1/3)²
A3= √3/4 (1/3-1/4)²
…....
An= √3/4 (1/n – 1/(n+1))²
Soit A l'aire totale. A= ∑ √3/4 (1/k – 1/(k+1))²
Il s'agit donc de trouver la limite de la suite bn définie par : bn+1 = bn + √3/4 (1/n+1 – 1/n+2)²
et b1 = √3/8
A l'aide du programme Python suivant :
from math import sqrt
u=1/4
v=sqrt(3)/4
n=10000
for k in range(2,n):
On constate que (bn) converge et on trouve la valeur approchée suivante pour sa limite :
0.12551658376421054
Remarque : « A la main », on pourrait remarquer que bn est à un certain nombre de termes près égale à √3/4 * la somme de l'inverse des carrés, dont la limite est pi²/6.
Il est ainsi possible de majorer la limite de (bn) par √3/4 (pi²/6 -1) par exemple.
2 De Jean-baptiste Chagnoleau - 22/05/2016, 15:26
L'aire du n-iéme triangle est √3/4*(1/n-1/n+1)²
Le probléme revient donc à calculer:
(Σ désigne la somme de 1 à n et lim la limite quand n tend vers +∞)
= √3/4* (lim Σ(1/n²))-2*lim(Σ(1/n(n+1)))+lim Σ(1/(n+1)²))
or lim Σ(1/n²)=(pi²)/6
lim(Σ(1/n(n+1)))=lim (Σ(1/n- 1/(n+1))) (par décomposition en facteur simple) = lim(1+1/n)=1 (par télescopage de la somme)lim Σ(1/(n+1)²))=lim (Σ(1/N²)) -1 (en posant N=n+1) =(pi²)/6 -1Ainsi lim(Σ √3/4*(1/n-1/n+1)²))= √3/4*(2*pi²/6 -3)
L'aire exact de cet objet est donc (√3)/4*(2*pi²/6 -3) ce qui fait environ 0.1255165837643561
3 De Romain Validire - 22/05/2016, 20:37
Super, je crois qu'on va pouvoir faire l'impasse sur le chapitre Séries numériques et partir une semaine plus tôt en vacances.
Bravo à tous les deux, vos réponses sont correctes.
Jean-Baptiste est tout de même allé un peu plus loin car il a calculé la valeur exacte de la somme de la série. Il remporte donc 1 point.