Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'on peut trouver une application linéaire et bijective (un isomorphisme) de l'un vers l'autre. On peut considérer que deux espaces isomorphes sont identiques du point de vue de la structure d'espace vectoriel.
La question du défi 7 est la suivante : en algèbre linéaire, le tout et la partie peuvent-ils être égaux ? Autrement-dit, peut-on trouver un espace vectoriel qui est isomorphe à l'un de ses sous-espaces (excepté lui-même, évidemment) ? Si oui donnez un exemple. Sinon, justifiez que que c'est impossible.
Bonne chance à tous ! Postez votre réponse en commentaire à ce message.
6 réactions
1 De Foulques qui meurt - 21/04/2016, 19:44
Cela existe !!!
Prenons l'espace vectoriel des réels R+]0,1] noté R1 (scalaires ? Pas du tout, on n'a qu'à dire des vecteurs à 1 coordonnée. R1 est bien un e.v. , zéro lui appartient) et sa partie, R+]0,2] noté R2. Posons
f : R1-->R2
A : Tous les éléments de R1 ont une image unique dans R2 par f : f est surjective
Tous les éléments de R2 ont un unique antécédent dans R1 : f est injective f est surjective et injective,donc f est bijectiveB : f (ax + by) = 2*(ax+by) = 2ax + 2by = a2x + b2y = af(x) + bf(y) : f est linéaire
Donc f est bien un isomorphisme : R1 et R2 sont isomorphes
C : R2 C R1 (inclus) : La démonstration est faite ! Evidemment, ce n'est pas très intuitif, j'ai moi-même pensé que le problème était insolvable en raisonnant sur des ensembles finis et dénombrables, puis simplement dénombrables... Les maths c'est super, on vient de montrer card(R1) = card(R2) (qui entre nous vaut 2^(aleph0).
2 De Romain Validire - 22/04/2016, 09:03
Je ne comprends pas vos définitions de R1 et R2... Cela ne ressemble pas à des espaces vectoriels.
3 De Valentin Thirion - 22/04/2016, 20:01
Cela me semble impossible pour des espaces de dimension finie.
Raisonnons par l'absurde:
Si E est un sous espace vectoriel de G distinct de G, on a nécessairement dim G > dim E dans le cas où F et E sont tous deux de dimension finie.
Supposons qu'il existe un isomorphisme f allant de E dans G. On a donc Im(f) = G => rg(f) = dim G (Surjectivité de f) et dim ker (f) = 0 (Injectivité de f)
Or le théorème du rang donne rg(f) + dim ker(f) = dim E => dim G = dim E
Il y a contradiction, par conséquent un tel endomorphisme n’existe pas.
4 De Foulques - 22/04/2016, 23:23
R1 = { (a) | a ∈ ℝ+ \ ]0;1[ } (vecteurs unilignes et unicolonnes)
R2 = { (a) | a ∈ ℝ+ \ ]0;2[ } (vecteurs unilignes et unicolonnes)
Les antislashs ne s'étaient pas affichés (pourquoi ?)
5 De Romain Validire - 23/04/2016, 13:36
Valentin, votre réponse est intéressante et apporte la solution sous l'hypothèse de dimension finie. La réponse reste tout de même ouverte si on ne fait pas cette hypothèse.
Foulques, les ensembles que vous proposez ne sont pas des espaces vectoriels pour les lois usuelles de l'addition et de la multiplication par un scalaire... Cela n'apporte donc pas de réponse au problème posé.
En tout cas, c'est bien vaillant de votre part de répondre aux défis en pleine période de concours : félicitations à tous les deux !
6 De Mgc - 06/11/2022, 12:10
u : RX —> Vect({X^(2k) , k dans N})
(RX c’est l’ensemble des polynômes, je sais pas pourquoi ils arrivent pas à bien l’afficher)
Ça devrait le faire :
C’est bien une application linéaire
Injectuve
Surjective
Et l’ensemble d’arrivé est bien un Sev de RX ≠ de ce dernier