Voici le défi 6 : trouver la dernière ligne de la matrice dans le membre de droite de cette étrange égalité.
Tentez votre chance, postez votre réponse en commentaire : on ne demande pas nécessairement de justification.
Défi 6 - choisir le bon angle !
samedi, février 13 2016. Lien permanent Le coin des sciences › Mathématiques
9 réactions
1 De Levrai Alex - 14/02/2016, 14:30
Je propose :
-1 -1 1
Si c'est bon (ce qui m'étonnerait...) , je posterai une justification.
2 De Romain Validire - 14/02/2016, 20:12
Non, ce n'est pas la ligne attendue.
Je précise que derrière l'égalité, il y a un vrai résultat mathématique.
3 De Foulques Geraud - 14/02/2016, 21:29
J'approuve le vrai Alex, je tombe sur le même résultat. Comment le trouver ?
Ma première réaction a été :
<<SATAAAAAAAN HERESIE AU BUCHER PAS DE COSINUS DE MATRICES !!!>>
-----[Passage modéré]-----
Ensuite j'ai commencé (c'est vous dire !) à réfléchir, et voilà ce que ça a donné :
On applique le développement en série entière (pour les PCSI : se reporter au bas de ce post) du cosinus à la martice plutôt qu'à ses coefficient. On calcule donc les coefficients des puissances de la matrice M = [1,2,1,1,1,1,-2,-3,-2]
On trouve bien sûr
M² = 1,1,1,0,0,0,-1,-1,-1] et
M^3 = 0{M3(R)} matrice nulle carrée de taille 3 mal notée qui fera hurler M. Validire qui aime les formalismes biens notés ;)
M est donc nilpotente d'ordre 3 (toutes ses puissances au dessus de 3 compris s'annulent)
Or cos(x) = somme de n=0 à +l'infini des { (-1)^n*x^2n/2n! }
on remplace x par M avec M^0 = I3 l'identité de taille 3 bien évidemment
notre somme infinie (série) se simplifie à partir de 2n = 3 donc de n=1 :
cos(M) = I3 - (1/2)M²
cos(M)=[1,0,0,0,1,0,0,0,1] - (1/2)[1,1,1,0,0,0,-1,-1,-1]
cos(M)=(1/2)[1,-1,-1,0,2,0,-1,-1,1]
Par identification avec la matrice de l'énoncé, on trouve ?,?,? = -1,-1,1 CQFD
4 De Encore moi (Foulques) - 14/02/2016, 21:32
Oups ! En me relisant j'ai vu une erreur de calcul en faisant I3 -(1/2)M²
On trouve en fait ?,?,? = 1,1,3
5 De Romain Validire - 15/02/2016, 20:32
Félicitations Foulques : +1point.
Alex avait peut-être produit le même raisonnement et fait la même erreur de calcul ? C'est dommage...
Pour information : toutes nos fonctions usuelles se prolongent à l'algèbre des matrices carrées et plus généralement aux algèbres de Banach...
6 De Levrai Alex - 16/02/2016, 20:06
Mes recherches m'avaient effectivement conduit du côté du développement en série entière, avec quand même un gros doute sur son application au matrice, ceci n'étant (heureusement ?) pas au programme de la première année...
Mon erreur de calcul doit donc en effet être analogue à celle qu'avait initialement faite Foulques, que je félicite au passage (mais j'aurai ma revanche...)
7 De Foulques Geraud - 16/02/2016, 23:09
J'espère bien ! Et tuas mon admiration pour avoir eu cette idée que je n'aurais personnellement jamais eue sans mes cours de cette année, tu mériterais amplement le point (ça ne me semblerait pas problématique si M. Validire te donnait le mien, ce serait plus fair play) !
8 De Eric Morvan - 24/02/2016, 15:21
Intéressant. Si on en croit Foulques, les développements en série entière ne sont pas vus en 3/2, uniquement en 5/2... Félicitations quand même.
9 De Valérie Monturet - 03/03/2016, 11:33
Il était surprenant ce défi, avec le cosinus d'une matrice ! En plus, j'ai tout compris à l'explication de Foulques. J'ai refait le calcul de mon côté (ça faisait longtemps que je n'avais pas fait des produits de matrices, mais j'adorais ça ! :-) ) et je suis arrivée au bon résultat, sans erreur de calcul ! ;-)
Bravo quand même à Alex pour sa réactivité !