Ce défi porte sur les matrices carrées de taille 2-2 à coefficients réels.
On trouve facilement une telle matrice qui, mise au carré, donne l'identité, sans être elle-même l'identité. Mais est-ce la même chose pour la puissance troisième ?
Défi 5 : peut-on trouver une matrice réelle M, distincte de l'identité, telle que M^3=I ? Si oui, donnez-en une ; sinon, expliquez pourquoi.
Récapitulatif des points au 01/02/2016 :
- Adrien, 2 points ;
- Alex, 2 points ;
- Clément, 1 point ;
- Foulques, 3 points ;
- Jean-Baptiste, 1 point.
4 réactions
1 De louis personne - 02/02/2016, 12:02
M=(0,1. au cube est identité
. -1,-1)
2 De Foulques l'exponnentiel - 02/02/2016, 12:46
J'ai troué la méthode de résolution de ce problème grâce à une de mes nombreuses explorations wikipédia : C'est en effet en me baladant sur la page des quaternions (https://fr.wikipedia.org/wiki/Quate...) que j'ai pu découvrir l'écriture matricielle des nombres complexes.
C'est donc après d'infructueuses recherches matricielles (j'ai posé M = (a,b,c,d) avant de multiplié pour trouver un système d'équations abominable) que j'ai eu l'illumination consistant à me servir des complexes ; je dois reconnaître que j'ai été comme guidé par le souvenir du dernier défi, dans ces deux-là on recherchait en quelque sorte des "racines n-ièmes de l'unité".
Ainsi, j'ai utilisé cette notation : Soit un complexe z = a + ib
alors la matrices associée à ce complexe est :
(a -b
On reconnaît alors dans la matrice identité la matrice correspondant au nombre complexe 1.
Si nous connaissons les racines troisièmes de l'unité, alors nous sommes capables par leur produit de retrouver l'unité, que ce soit sous forme de matrices ou de complexes. Quelles sont alors les racines troisièmes de l'unité ?
Grâce au précédent défi on se souvient que 1 = exp(2*i*pi/3)
Sous forme algébrique, z = 1*cos(2*pi/3) + 1*i*sin(2*pi/3)
z = -(1/2) + i*(√3)/2
On peut donc écrire la matrice M donnée par
( A B
telle que
A = -(1/2)
B = -(√3)/2
C = (√3)/2
D = -1/2
Il existe entre autres solutions la matrice associée au conjugué de la racine utilisée.
3 De Abdelmounim - 02/02/2016, 19:51
pour M=(a,b,c,d)
toute relation vérifie a²+a.d+d²=-bc / (b,c) de R²*
est une solution
4 De Romain Validire - 03/02/2016, 21:20
Louis, votre solution est correcte, bravo ! Louis : 1 point.
Pour Abdelmounim : désolé, mais cela ne marche pas avec a=d=1, b=3 et c=-1.
Foulques, votre idée est excellente et permet de résoudre le problème général X^n = I. Même si n'avez pas la primauté de la solution, la démarche mérite bien d'être récompensée : Foulques + 1 point.
Félicitations à tous les participants ; à bientôt pour d'autres défis.