Dans le plan complexe, une racine n-ième de l'unité est un point du cercle trigonométrique. Mais pouvez-vous trouver un point du cercle trigonométrique qui n'est pas une racine n-ième de l'unité ?
Le défi : si oui, donnez-nous un tel point, sinon expliquez pourquoi ?
8 réactions
1 De Foulques le Matheux - 30/01/2016, 01:08
Je suis de retour, pour vous jouer de mauvais tours !
Afin de protéger l'amour de la racine carrée
Afin d'étendre réels jusqu'à la voie lactée
Afin de protéger le Monde de la dérivation,
Afin de rallier tous les peuples à notre intégration !
Foulques ! Et encore Foulques ! eh oui je bosse tout seul :'(
La team racket (en parlez pas au BVS), plus rapide que la lumière (plus rapide que vous pour répondre aux défis en tout cas mouahaha), rendez-vous tous ou ce sera... euh... ben...
rendez-vous tous ou ce sera TD de huit heures !!!
Le défi du plan complexe :
► Énoncé :
"Existe-t-il un nombre complexe appartenant au cercle unité qui ne soit pas une racine n-ième de l'unité ? Si ouin donnez un tel nombre ; si non, expliquez pourquoi."
► Résolution :
• N'ayez pas peur, tous les outils que j'utilise ont été vus en terminale !
• Nous allons raisonner avec la notation exponentielle : ∀ z ∈ ℂ ,∃ (ρ,θ) ∈ ℝ x (0;2π) | z = ρ*exp(i*θ)
• Ainsi Arg(z) = θ
• On note
2 De Alex Levrai - 30/01/2016, 12:15
L' ensemble des complexes ia, a dans R, forme l'ensemble iR des imaginaires purs.
Le cercle unité (qui décrit l'ensemble U des complexes de module 1) est l'image directe de iR par la fonction exponentielle complexe :
U= exp(iR) = exp(ia) pour a réel
Or, l'ensemble Un des racines n-ièmes de l'unité est défini par :
Un= exp(i2kπ/n) ,(k,n) entiers naturels et k<n
La question revient donc à : est ce que U=Un à partir d'un certain rang n ?
Autrement dit ,peut on toujours écrire un réel a sous la forme 2kπ/n, avec k et n entiers ?
Il est évident que non. En effet :
a= 2kπ/n → a/2π= k/n
Si le nombre a/2π est irrationnel, il ne pourra pas s'écrire sous la forme d'un quotient d'entiers. Il ne sera donc pas racine n-ième de l'unité.
Ex : exp(i√2) est un complexe de module 1. Il est sur le cercle unité.
Mais √2/ 2π est un nombre irrationnel : il ne peut pas s'écrire sous la forme requise, k/n, pour appartenir à l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité.
exp(i√2) n'est pas racine n-ième de l'unité.
3 De Abdelmounim - 30/01/2016, 15:09
Le point existe en fonction de la paritée de n.
On montre que' z=exp(i.pi) est racine n-ième de l'unité seulement et seulement si n est pair'
Si on prend Zpuiss(n)=1 et z=E.exp(i.n.TO)
Zpuiss(n)=1 est equivalent à E=1 et n.Teta=0 (2kpi) / k de 0,n-1
on suppose que pour tout n de N et Teta de R, il existe k de 0,n-1, t.q: Teta=(2kpi/n)
si on prend Teta=pi
Teta=(2kpi/n) est equivalent à n=2k
on remarque que la relation est vraie juste pour n pair
ce qui est contradictoire avec n apartient à R.
doncz=exp(i.pi) est racine n-ième de l'unité seulement et seulement si n est pair.
4 De Romain Validire - 31/01/2016, 19:19
Désolé Foulques, votre message est tronqué au meilleur moment : certainement un mauvais coup de ce satané (pi*k)^2.
Abdelmounim, une erreur de compréhension : on ne demande pas de chercher si des nombres sont des racines n-ième pour tout n mais, au contraire, pour aucun n... Par exemple : z=exp(i*pi)=-1 est une racine 2-ième, donc il ne nous intéresse pas.
Alex : votre réponse est très correcte.
Alex : 1 point.
5 De Foulque le rageux - 01/02/2016, 18:49
Par chance j'avais copié toute ma démonstration au propre vendredi matin, je vous la présenterai... Je veux mon point greu greu greu !
6 De Romain Validire - 03/02/2016, 21:01
Après vérification de la démonstration manuscrite : Foulques + 1 point.
7 De Foulques l'admiratif - 06/02/2016, 18:22
Merci M. Validire mon héros !!!
8 De Romain Validire - 06/02/2016, 18:47
Heu... c'est beaucoup d'honneur. Je vais essayer de rester modeste : le vrai héros c'est lui.