Voici le défi 5 : trouver une matrice X qui vérifie l'équation ci-contre. S'il n'y en a pas, expliquez pourquoi.
Bonne chance à tous.
Défi 5 : la puissance des nuls
samedi, février 7 2015. Lien permanent Le coin des sciences › Mathématiques
Prépas scientifiques PCSI PC Bertran de Born
Cette page est consacrée aux classes préparatoires scientifiques PCSI et PC du lycée Bertran de Born à Périgueux.
3 réactions
1 De Guillaume ROUQUIER - 27/01/2015, 19:14
Un petit indice pour ceux qui vont chercher, car un défi similaire est tombé l'an dernier, allez fouiller les archives (quelques pages avant) ...
Vous n'aurez pas la réponse, mais une méthode de résolution.
Maintenant, aucune excuse pour ne pas chercher, ce n'est que du calcul ...
Bonne chance toutefois ... ;)
2 De Romain Validire - 27/01/2015, 20:49
Dans le bandeau de droite vous trouverez le mot clé défi : en cliquant dessus, vous obtiendrez la liste des défis posés.
Guillaume, vous avez raison de noter la similitude avec un précédent défi, mais malgré les apparences, ils ne sont pas de même nature.
Au passage le défi est ouvert aux élèves des 1ère et 2ème années.
3 De Romain Validire - 25/06/2016, 14:07
Solution d'après Alex Levrai.
Une telle matrice n'existe pas.
Soit f l'endomorphisme de R² canoniquement associé à X.
On remarque que (X^3)²=X^6 est la matrice nulle. Donc X est nilpotente, donc f est nilpotent.
Soit p l'ordre de nilpotence de f.
Comme X^3 n'est pas la matrice nulle, p>3.
Or, d'après mes recherches : L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
Ici la dimension de l'espace vaut 2. On en conclue qu'il n'existe pas de matrice carrée nilpotente d'ordre supérieur à 3.
Réponse correcte ! C'est vrai ! Resterait à voir cette histoire d'indice de nilpotence ; en dimenion 2, on peut le faire à la main. La justification est tout de même acceptée.