Les deux matrices que vous voyez à gauche sont équivalentes par lignes : c'est à dire qu'il existe une suite d'opérations élémentaires sur les lignes menant de l'une à l'autre.
Comme nous le fait remarquer Morgan : on passe aussi de l'une à l'autre en échangeant les 0 et les 1. Cette propriété est-elle universellement partagée par les matrices uniquement faites de 0 et de 1 ?
Voici donc le défi 2 : les trois matrices que vous voyez apparaître en dessous sont-elles équivalentes par ligne à leur matrice obtenue en échangeant les 0 et les 1 ? Vous pouvez proposer en commentaire une réponse pour une ou plusieurs matrices en expliquant votre affirmation.
Tentez votre chance : de nombreux points à gagner !
4 réactions
1 De Valentin Thirion - 20/11/2014, 22:44
Il me semble avoir trouvé une solution pour la première :
A = ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )A ~ ( 0 1 0 1 0 1 L2 <-> L1 1 0 1 )A ~ ( 0 1 0 1 0 1 1 1 1 ) L3 <- L3 + L1A ~ ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) L3 <- L3 - L22 De Valentin Thirion - 20/11/2014, 22:56
Pour la matrice B, j'ai déterminé grâce à la méthode du pivot de Gauss l'unique matrice échelonnée réduite à laquelle elle correspond, et celle-ci est de rang 3 (je peux détailler au besoin.).
Or, en inversant les 0 et 1, on trouverait une matrice de rang 2 (La première et la quatrième ligne seraient nulles).
J'en déduis donc que la matrice B n'est pas équivalente par ligne à la matrice obtenue en échangeant les 0 et les 1.
3 De Valentin Thirion - 20/11/2014, 23:26
Dans la même idée, je trouve comme matrice échelonnée réduite pour la C :
Alors que pour la matrice obtenue en échangeant les 0 et les 1, j'obtiens :
Une matrice n'étant équivalente par ligne qu'à une unique matrice échelonnée réduite, j'en déduis que C n'est pas équivalente par ligne à la matrice obtenue en inversant les 0 et les 1.
4 De Romain Validire - 22/11/2014, 16:13
Tout cela est très correct !
Félicitations Valentin : cela fait 3 points de plus.
Votre score monte à un total de 4 points. Attention à tous les autres : il va falloir se rattraper sur les prochains défis.