Depuis l'exercice 2 du ds5 vous savez que le graphe d'une fonction croissante définie sur et dans le segment [0,1] coupe toujours la droite d'équation y=x : si la courbe reste dans le carré alors elle coupe la diagonale qui monte.
Le point d'intersection détermine alors un point fixe (élément égal à son image) pour la fonction en question.
Mais qu'en est-il pour les fonctions décroissantes ?
Voila donc le défi 5 : peut-on trouver une fonction décroissante de [0,1] vers [0,1] dont le graphe ne coupe pas la droite d'équation y=x ? Si oui, donnez-en une et s'il n'y en a pas expliquez pourquoi.
7 réactions
1 De Guillaume Rouquier - 05/03/2014, 17:51
Pour une fonction quelconque f de [0,1] vers [0,1],
Pour que f ne coupe pas la droite y=x, il faut je pense que f ne soit pas continue sur cet intervalle.
Ici, on demande une fonction décroissante ET il n'y a aucune notion de continuité mensionnée dans le DS ni dans le problème posé.
Il existe alors peut-être des fonctions qui répondent au problème.
2 De Romain Validire - 05/03/2014, 18:18
C'est une très bonne remarque ! Pourriez-vous justifier cette intuition ?
3 De Guillaume Rouquier - 05/03/2014, 21:19
Si f est continue sur [0,1], cela signifie que quelque soit a appartenant à cet intervalle lim f (en a-)=lim f (en a+)=f(a).
Or f doit être décroissante sur [0,1] donc cela traduit le fait que sur l'intervalle, f est bornée et, f(0)=1 et f(1)=0.
De plus si f ne doit pas couper la droite y=x, cela traduit que lim f(x)-x != 0(quand x->a- ou x->a+).
Si le cas contraire arrive, on retombe sur la notion de point fixe en x=a et donc f est nécéssairement continue en a.
4 De Guillaume ROUQUIER - 31/05/2014, 18:23
Toute fonction décroissante de I=[0,1] vers I admet au moins un point fixe sur I si et seulement si elle est CONTINUE.
En effet, soit f une fonction décroissante de I= [0,1] vers I (donc f(0)=1 et f(1)=0).
1) Si f est la fonction constante sur I égale à p (p appartenant à I), f admet obligatoirement un point fixe.
2) Si f est strictement décroissante, étudions les variations de f(x)-x.
Soit a un point de la droite y=x tel que f(a) soit dans le voisinage de a et f est continue sur [0,a[ U ]a,1]. Considérons un intervalle J tel que pour tout e > 0, J= [ a-e , a+e].
i) Sur Q=[0,a[, f(x)-x > 0 <=> f(x) > x et sur R=]a,1], f(x)-x < 0 <=> f(x) < x.
ii) Lorsque x appartient à Q et J, f(a-e)-(a-e) > 0, soit f(a-e) > a-e.
Lorsque x appartient à J et R, f(a+e)-(a+e) < 0, soit f(a+e) < a+e.
iii) Quand e -> 0, f(a-e) -> f(a) et a-e -> a. Donc f(a) > a.
De même, f(a+e) -> f(a) et a+e -> a. Donc f(a) < a.
iv) f(a) > a et f(a) < a implique que f(a) = a ce qui revient donc à dire que a est un point fixe de f.
Ainsi f est continue sur I tout entier.
5 De Romain Validire - 02/06/2014, 21:00
Guillaume je ne suis pas tout à fait d'accord avec votre résultat :
Ce qui est vrai : f continue de [0,1] vers [0,1] => f a un point fixe (c'est un exercice vu en TD).
Mais la réciproque est fausse : une fonction admettant un point fixe (même décroissante) peut être discontinue.
Ce qui est donc clair c'est qu'il faut une fonction non continue pour faire une fonction sans point fixe ! Il ne reste plus qu'à trouver un exemple explicite...
6 De Guillaume ROUQUIER - 03/06/2014, 12:09
Il suffit de prendre la fonction suivante : pour tout m appartenant à ] 0 , 1 [,
f(x) = 1 si x appartient à [ 0 , m [ et 0 si x appartient à ] m , 1 ].
f est bien décroissante mais pas continue. De plus elle n'admet aucun point fixe car on a pris m différent de 0 ou de 1.
7 De Romain Validire - 06/06/2014, 20:51
Cela vous fait donc : 1 point de plus !