Maintenant que le produit matriciel n'a plus aucun secret pour vous, voici le défi 4 : trouver toutes les matrices carrées réelles P telles que :
Tentez votre chance !
Pour rappel, voici le classement au 16 janvier :
- Adrien : 3 points
- Foulques : 1 point
- Guillaume : 1 point
- Thomas : 1 point
11 réactions
1 De bourgeade adrien - 19/01/2014, 16:41
on remarque que la matrice que l'on cherche est très similaire a la matrice identité que l'on notera I on peut même dire plus c'est la transposée de I,
on peut ecrire que
I*I*I*I=I
IT= transposée de I
d'après une propriété du cours on sait que IT*IT*IT*IT=IT
donc une matrice qui fonctionne est la matrice que l'on cherche
c'est à dire:
(0 1)
(1 0)
2 De Romain Validire - 20/01/2014, 20:30
Non, ce n'est pas la "transposée" au sens donné dans le cours.
D'ailleurs en posant P = (0 & 1 // 1 & 0) on trouve P*4 = Id. Cela ne convient donc pas.
Il faut encore chercher un peu.
3 De hammouchi houmam - 23/01/2014, 00:35
on a p^2=a
donc p^4=a^2
après on pose que la matrice a égale (abcd)
on résout a^2
4 De Romain Validire - 02/02/2014, 15:02
Houmam, je ne comprends pas vraiment votre raisonnement. Qui est la matrice a ?
En tout cas, savoir déjà résoudre l'équation X^2 = (0,1\\1,0) est une bonne piste de recherche. Mais cette équation matricielle a-t-elle une solution ?
5 De Foulques - 03/02/2014, 23:51
J'ai tout essayé ! Je suis sûr que c'est un piège, cette matrice P n'existe pas !
De toute façon, n'est il pas vrai que les matrices de Mn(K) n'ont pas toutes des raçines ?
6 De Romain Validire - 05/02/2014, 10:12
Et bien s'il n'y a pas de telle matrice il faut expliquer pourquoi...
7 De Guillaume Rouquier - 05/02/2014, 17:31
Si on part avec le fait qu'on cherche une matrice Q tel que Q²=P^4, on pose alors: Q=(a b // c d).
Après le produit matriciel, on pose le système suivant:
{a²+bc=0 {ab+bd=1 {ca+cd=1 {cb+d²=0On se retrouve alors avec b=c=1/(a+d) et a²=d²= - 1/(a+d)²
On a a²=d² <0, donc une matrice à coefficient réel ne marche pas.
Il s'agit de chercher peut-être avec des coefficients complexes.
8 De Romain Validire - 05/02/2014, 17:58
Bravo Guillaume ! La réponse est convenable : on ne peut pas trouver de matrice P qui convienne.
Je reformule le début en disant : si une telle matrice P existe, alors (P^2)^2=(0,1\\1,0).
Or, Guillaume nous a montré que l'équation Q^2 = (0,1\\1,0) n'a pas de solution réelle (c'est bien ce que demande l'énoncé). Donc P n'existe pas !
Guillaume : +1 point.
9 De Foulques - 05/02/2014, 23:50
Y'a pas à dire, bravo.
10 De Guillaume Rouquier - 06/02/2014, 17:20
En partant toujours avec la matrice Q à coefficient complexe, on pose Q=(z 1/2z // 1/2z z) en reprenant le constat de ma dernière réponse.
Par produit matriciel, on obtient un autre système à coefficients complexes dont on va résoudre que la première ligne car z est le même pour toute la matrice.
Ainsi, on résout z²+(1/4z²)=0 <=> … <=> z^4=-1/4
Par la méthode vue en début d’année, on pose z=exp(iθ). Donc on résout
(exp(iθ))^4=-1/4
Après calcul en déterminant le module (1/4) et l’argument (π) de -1/4, on obtient exactement quatre solutions :
Z0=(1/4)^(1/4)*exp(i π/4)=0.5+0.5i
Z1=(1/4)^(1/4)*exp(3iπ/4)=-0.5+0.5i
Z2=(1/4)^(1/4)*exp(5iπ/4)=-0.5-0.5i
Z3=(1/4)^(1/4)*exp(7iπ/4)=0.5-0.5i
Après vérification par produit matriciel (pas à la main), on trouve qu’en remplaçant z de la matrice Q par Z0 ou Z1 ou Z2 ou Z3, Q²=P^4.
Mais si on suppose P=Q, on s’aperçoit que (Q²)²=Q^4 =In (matrice identité) ≠ P^4.
Il ne reste plus qu’à trouver une matrice R (il y en a plus d’une !) qui vérifie R^4=Q²=P^4. Cela demande beaucoup de courage et de volonté !
11 De Romain Validire - 08/02/2014, 09:34
Sinon cela demande un peu de patience puisqu'en 2ème année est étudiée une méthode qui permet d'attaquer ce genre de questions.