Voici le premier défi de l'année 2013/2014 ! Il est inspiré d'une maladresse de rédaction d'un de vos camarades qui restera anonyme.
Le défi 1 : trouvez une fonction d'une variable réelle dont la réciproque et une primitive sont égales. Vous donnerez une expression explicite pour cette fonction.
Tentez votre chance !
Certains ont du mal à croire à l'existence d'une solution au problème. Pourtant il existe bien (au moins) une telle fonction dont la courbe, tracée avec la librairie matplotlib de Python, s'affiche sous vos yeux :
Naturellement, cela ne justifie rien.
7 réactions
1 De Guillaume Rouquier - 25/11/2013, 21:06
La fonction f(x)=0 conviendrait car :
1) f est continue sur l'ensemble des réels, et admet alors une primitive F(x)=0.
2) Graphiquement, f et sa "réciproque" sont bien symétriques par rapport à la droite y=x, mais le théorème indique que la fonction doit être stictement monotone, ce qui n'est pas le cas pour f qui est monotone mais pas strictement.
Seulement, la fonction f serait la seule fonction capable de satisfaire au maximum les conditions.
2 De Romain Validire - 26/11/2013, 15:48
3 De Guillaume Rouquier - 20/12/2013, 15:40
Je propose cette fonction qui pourrait convenir :
f(x)= ( ( ( 1+sqrt(5) ) /2) ^ ( ( -1+sqrt(5) ) / (1+sqrt(5) ) ) ) * (x ^ ( 1+sqrt(5) /2 )
(c'est beaucoup plus facile à écrire avec LaTeX)
Pour ceux qui viendraient voir la tête de cette fonction et qui ne comprendraient pas comment je l'ai trouvée, je fournirai les détails du raisonnement le plus détaillé possible.
Même si la fonction ne correspond pas, j'expliquerai comment on m'a amenée à la trouver (en cas de besoin).
4 De Romain Validire - 21/12/2013, 21:09
Presque... A mon avis il y a eu une petite erreur de calcul notamment dans l'exposant.
5 De Guillaume Rouquier - 23/12/2013, 17:08
Oups ! Excusez-moi, mais vous avez raison!
Si on cherche la fonction sous la forme f(x)=k.x^a, on a a=(-1+sqrt(5))/2.
A un signe près, ça change tout.
6 De Romain Validire - 02/01/2014, 16:55
Bravo Guillaume, avec cette correction vous trouvez une fonction (de R+ vers R+) qui convient et vous remportez 1 point.
La voici en image :
7 De Guillaume Rouquier - 08/01/2014, 20:29
Une deuxième fonction pourrait correspondre aux critères éxigés, toujours de la forme f(x)=k*x^a:
il suffit que a= (-1-sqrt(5))/2
et donc k=( (1-sqrt(5)) /2 ) ^ ( (1-sqrt(5) / (-1-sqrt(5) )