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11 mars 2014

LA CARTOGRAPHIE

I-L'histoire de la cartographie.

               a) Comment était vu le monde avant les grandes découvertes.

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Dans les siècles précédant les grandes découvertes, on pensait que la Terre était plate. La plupart des religions n'acceptaient pas que la Terre pouvait être ronde et poussaient les croyants a penser de la même sorte. Mais pourtant certains scientifiques pensaient déjà a cette possibilité, et certains créaient même des cartes représentant la Terre ronde avec l'Europe, l'Afrique et une partie de l'Asie en face. Cependant un continent manquait. Mais lorsque les voyages vers l'Inde devinrent trop chers a financer et passer le Cap de Bonne Espérance réputé pour ses tempêtes n'était pas une tache facile, plusieurs familles royales (notamment le roi Fernando de Aragon et la reine Isabel la catolica) financèrent des voyages en passant par l'océan atlantique jusqu'en Inde en évitant le Cap. C'est ainsi que les plus grandes découvertes eurent lieu.

              b) Le changement des cartes due aux découvertes.

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La première carte du monde dut établie par Battista Agnese entre 1535 et 1542. L'Antarctique fut découvert pour la première fois par Jules Dumont en 1840 mais son équipage étant atteint de scorbut il a été obligé de faire demi-tour. Il revenu un peu plus tard en 1848. Le premier à découvrir le Groenland, au Nord, est un viking, Eric le Rouge, en l'an 982. Mais avant 1819, personne n'avait encore vu les côtes de l'Antarctique. Partout en Europe sont fondées des sociétés de géographie. Elles réunissent des scientifiques célèbres et ont pour but de développer de nouvelles connaissances en géographies suite aux découvertes et de «remplir les trous» sur la carte du globe. Leur rôle principal est de financer de nombreux projets d'expédition ou de recherche sur les lieux encore inconnus de notre planète. La société royale de géographie de Londres est l'une des plus anciennes de toutes.

              c) L'évolution des cartes marines et cartes routières.

La carte marine est un type particulier de carte qui représente les éléments indispensables à la navigation maritime. En adéquation avec la signalisation maritime, elle permet de se situer et de se diriger. Elle indique essentiellement les sondes et les isobathes(profondeur de l'eau), les dangers (récifs, hauts-fonds, épaves, munitions immergées), la réglementation maritime, la signalisation maritime (phares, balises, bouées) et les amers.

                 II- La réalisation de différentes cartes.
                 a) L'utilisation des calculs et d’instruments pour la cartographie.

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Avant le GPS et autres instruments électroniques, les navigateurs utilisaient des cartes et des compas pour tracer leurs routes. Ils se repéraient au soleil et aux étoiles. Dès le XI° siècle les navigateurs italiens et espagnols apprirent des arabes que l'aiguille aimanté s'oriente au nord, la boussole devient alors d'une utilisation courante. Le compas à pointes sèches est souvent utilisé pour calculer la distance parcourue ou celle qu'il reste à parcourir notamment sur les cartes marines. Les supports utilisés —notamment les cartes marines— sont grossières car elles ne respectent ni les angles, ni les distances réelles. Le véritable développement intervient avec l'amélioration des outils de mesure mis au points par la géodésie et les géomètres, ainsi que l'amélioration des registres de tous types, devenant de larges sources statistiques. L'utilisation des engins aéronautiques (dirigeables, avions, hélicoptères) à partir du début du XXe siècle permet d'affiner et de mettre à jour plus rapidement la couverture cartographique, mais pour des espaces à chaque fois relativement limités et concernant presque uniquement les terres émergées. Dans la dernière partie du XXe siècle, un pas technique majeur est franchi avec l'utilisation et le traitement numérique des ondes émises par des satellites : les contours terrestres sont alors pour la première fois photographiés depuis le ciel. Des cartographies du fond des océans ou des zones inaccessibles deviennent beaucoup plus précises. La cartographie complète de la Lune et de Mars est réalisée grâce aux satellites d'exploration ou sondes spatiales.

                b) L’utilisation du théorème des quatre couleurs pour la cartographie.

Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorer1 n'importe quelle carte découpée en régions connexes (Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau »). S'agissant du coloriage des cartes elles-mêmes, le théorème a en fait un intérêt limité. Par exemple, si on souhaite dessiner une carte du monde en attribuant des couleurs différentes aux pays limitrophes :

   -D'une part, on sera gêné par la présence de la mer. Soit il faut lui attribuer une couleur comme si c'était un pays — mais ce serait trompeur — soit il faut lui réserver une couleur supplémentaire.
   -D'autre part, le théorème parle bien de régions connexes. L’oblast de Kaliningrad (esclave russe au bord de la mer Baltique, entourée par la Lituanie au nord et à l'est, ainsi que la Pologne au sud.) suffit à montrer que ce n'est pas forcément le cas des pays.

Christelle FELDESI, Guillaume DACHARD et Lisa ALEXANDRESCU.

10 décembre 2013

Le Théorème des quatre couleurs

Le Théorème des 4 couleurs est une démonstration mathématique. Ce fut un énoncé abordé par les plus grands mathématiciens et le seul a être résolu à l'aide de l'ordinateur.

Le théorème des 4 couleurs a été inventé par le mathématicien anglais Augustus De Morgan, suite à la venu de Francis Guthrie, professeur de mathématiques et de son frère.

Ces derniers lui ont demandés si, pour colorer une carte de géographie en évitant d'affecter la même couleur à deux pays partageant une ligne de frontière commune, quatre couleurs suffisent. Attirés par la curiosité, plusieurs mathématiciens l'ont étudiés tels que Sir William Rowan Hamilton ou encore Arthur Kempe, en 1879, qui annonce avoir résolu la démonstration.

Mais onze ans plus tard (1890), Heawood troucve une faille dans la résolution de la démonstration de Kempe. Celui-ci évoque un théorème des 5 couleurs, il montre alors que l'on peut colorier une carte avec cinq couleurs, ses résultats s'avère plus facile à démontrer. En 1967 et 1971, Heesch se rend aux Etats-Unis afin de trouver une méthode de résolutions dans de meilleures conditions. Le pays étant équipé d'ordinateur plus puissant, le mathématicien allemand fait équipe avec ses confrères Haken et Shimamoto. Mais à un moment crucial des recherches, le financement est annulé.

Ce fut finalement en 1976 après 124 ans de recherche et 1200 heures de calcul pour nombre minimum de couleurs pour colorier une carte, Haken et  Kenneth Appel qui démontrent par informatique la conjecture de ce théorème avec plusieurs configurations. Robertson, Sanders, Seymour et Thomas simplifient leur algorithme, ce qui réduit les configurations de 1478 à 633.

Enfin, en 2005, Georges Gonthier proposera une preuve formelle à l'aide d'un assistant de preuve et le programme d'écriture et de vérification des preuves Coq ( logiciel mathématiques ). Quant à une preuve vérifiable à la main, elle reste à apporter.

Exemple de carte appliquant le théorème des quatre couleurs :

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Sarah Pothier & Laurie Lescure